Формулы боковой и полной поверхности цилиндра. Как найти площадь цилиндра

При изучении стереометрии одной из главных тем становится «Цилиндр». Площадь боковой поверхности считается если не главной, то немаловажной формулой при решении геометрических задач. Однако важно помнить и определения, которые помогут сориентироваться в примерах и при доказательстве различных теорем.

Понятие цилиндра

Вначале нужно рассмотреть несколько определений. Только после их изучения можно приступать к рассмотрению вопроса о формуле площади боковой поверхности цилиндра. На основе этой записи можно вычислить и иные выражения.

• Под цилиндрической поверхностью понимают плоскость, описываемую образующей, движущейся и остающейся параллельной заданному направлению, скользящей по имеющейся кривой.
• Имеется и второе определение: цилиндрическую поверхность образуют множество параллельных прямых, пересекающих заданную кривую.
• Образующей называют условно высоту цилиндра. При ее перемещении вокруг оси, проходящей через центр основания, получается обозначенное геометрическое тело.
• Под осью подразумевают прямую, проходящую через оба основания фигуры.
• Цилиндром называется стереометрическое тело, ограниченное пересекающимися боковой поверхностью и 2 параллельными плоскостями.

Существуют разновидности данной объемной фигуры:

1. Под круговым подразумевают цилиндр, направляющая которого - это окружность. Его главными составляющими считаются радиус основания и образующая. Последняя равна высоте фигуры.
2. Существует прямой цилиндр. Свое название он получил благодаря перпендикулярности образующей к основаниям фигуры.
3. Третий вид - скошенный цилиндр. В учебниках можно встретить и другое его название «круговой цилиндр со скошенным основанием». Данную фигуру определяет радиус основания, минимальная и максимальная высоты.
4. Под равносторонним цилиндром понимают тело, имеющее равные между собой высоту и диаметр круглой плоскости.

Условные обозначения

Традиционно основные «компоненты» цилиндра принято называть следующим образом:

• Радиус основания - R (он же заменяет аналогичную величину стереометрической фигуры).
• Образующая - L.
• Высота - H.
• Площадь основания - S осн (иначе говоря, необходимо найти указанный параметр круга).
• Высоты скошенного цилиндра - h 1 ,h 2 (минимальная и максимальная).
• Площадь боковой поверхности - S бок (если ее развернуть, то получится своего рода прямоугольник).
• Объем стереометрической фигуры - V.
• Площадь полной поверхности - S.

«Компоненты» стереометрической фигуры

Когда изучается цилиндр, площадь боковой поверхности играет немаловажную роль. Связано это с тем, что данная формула входит в несколько других, более сложных. Поэтому необходимо быть хорошо подкованным в теории.

Основными составляющими фигуры являются:

1. Боковая поверхность. Как известно, она получается благодаря движению образующей по заданной кривой.
2. Полная поверхность включает в себя имеющиеся основания и боковую плоскость.
3. Сечением цилиндра, как правило, выступает прямоугольник, расположенный параллельно оси фигуры. Иначе его называют плоскостью. Оказывается, длина и ширина по совместительству являются составляющими других фигур. Так, условно длинами сечения являются образующие. Ширина - параллельные хорды стереометрической фигуры.
4. Под осевым сечением подразумевают расположение плоскости через центр тела.
5. И наконец, завершающее определение. Касательной называют плоскость, проходящую через образующую цилиндра и находящуюся под прямым углом к осевому сечению. При этом должно выполниться одно условие. Указанная образующая должна входить в плоскость осевого сечения.

Основные формулы для работы с цилиндром

Для того чтобы ответить на вопрос, как найти площадь поверхности цилиндра, необходимо изучить основные «компоненты» стереометрической фигуры и формулы их нахождения.

Данные формулы отличаются тем, что вначале даются выражения для скошенного цилиндра, а затем - для прямого.

Примеры с разобранным решением

Необходимо узнать площадь боковой поверхности цилиндра. Дана диагональ сечения AC = 8 см (причем оно является осевым). При соприкосновении с образующей получается < ACD = 30°

Решение. Поскольку известны величины диагонали и угла, то в таком случае:

• CD = AC*cos 30°.

Комментарий. Треугольник ACD, в конкретном примере, прямоугольный. Это означает, что частное от деления CD и AC = косинусу имеющегося угла. Значение тригонометрических функций можно найти в специальной таблице.

Аналогично, можно найти и значение AD:

• AD = AC*sin 30°

Теперь необходимо вычислить по следующей формулировке нужный результат: площадь боковой поверхности цилиндра равна удвоенному результату перемножения «пи», радиуса фигуры и ее высоты. Следует воспользоваться и другой формулой: площадью основания цилиндра. Она равняется результату перемножения «пи» на квадрат радиуса. И наконец, последняя формула: общая площадь поверхности. Она равна сумме предыдущих двух площадей.

Даны цилиндры. Их объем = 128*п см³. У какого из цилиндров наименьшая полная поверхность?

Решение. Для начала нужно воспользоваться формулами нахождения объема фигуры и ее высоты.

Поскольку площадь полной поверхности цилиндра известна из теории, необходимо применить ее формулу.

Если рассматривать полученную формулу в качестве функции площади цилиндра, то минимальный «показатель» будет достигнут в точке экстремума. Для получения последнего значения необходимо воспользоваться дифференцированием.

Формулы можно посмотреть в специальной таблице по нахождению производных. В дальнейшем найденный результат приравнивается к нулю и находится решение уравнения.

Ответ: S min будет достигнута при h = 1/32 см, R = 64 см.

Дана стереометрическая фигура - цилиндр и сечение. Последнее проведено таким образом, что располагается параллельно оси стереометрического тела. У цилиндра следующие параметры: ВК = 17 см, h = 15 см, R = 5 см. Необходимо найти расстояние между сечением и осью.

Поскольку под сечением цилиндра понимается ВСКМ, т. е. прямоугольник, то его сторона ВМ = h. Необходимо рассмотреть ВМК. Треугольник является прямоугольным. Исходя из этого утверждения, можно вывести верное предположение, что МК = ВС.

ВК² = ВМ² + МК²

МК² = ВК² - ВМ²

МК² = 17² - 15²

Отсюда можно сделать вывод, что МК = ВС = 8 см.

Следующий шаг - проведение сечения через основание фигуры. Необходимо рассмотреть получившуюся плоскость.

AD - диаметр стереометрической фигуры. Он параллелен сечению, упомянутому в условии задачи.

BC - прямая, расположенная на плоскости имеющегося прямоугольника.

ABCD - трапеция. В конкретном случае она считается равнобедренной, поскольку вокруг нее описана окружность.

Если найти высоту полученной трапеции, то можно получить ответ, поставленный в начале задачи. А именно: нахождение расстояния между осью и проведенным сечением.

Для этого необходимо найти величины AD и ОС.

Ответ: сечение располагается 3 см от оси.

Задачи на закрепление материала

Дан цилиндр. Площадь боковой поверхности используется в дальнейшем решении. Известны другие параметры. Площадь основания - Q, площадь осевого сечения - М. Необходимо найти S. Иными словами, полную площадь цилиндра.

Дан цилиндр. Площадь боковой поверхности необходимо найти в одном из шагов решения задачи. Известно, что высота = 4 см, радиус = 2 см. Необходимо найти полную площадь стереометрической фигуры.

Рассмотрим цилиндр вращения радиуса R и высоты h (рис. 383). В основание этого цилиндра впишем правильный многоугольник (на рис. 383 - шестиугольник) и с его помощью построим правильную призму, вписанную в цилиндр. Таким же путем можно описывать вокруг цилиндра правильные призмы с произвольно большим числом боковых граней.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается по определению предел, к которому стремятся площади боковых поверхностей вписанных и описанных вокруг него правильных призм по мере неограниченного удвоения (или вообще увеличения) числа их боковых граней.

То, что такой предел существует, мы сейчас и докажем. Если возьмем вписанную правильную призму, построенную на правильном -угольнике, как на основании, то для ее боковой поверхности будем иметь выражение , где - периметр правильного -угольника, вписанного в круг основания цилиндра. При . Точно такое же вычисление для описанной призмы дает тот же самый результат. Итак, площадь боковой поверхности цилиндра вращения выражается формулой

Боковая поверхность цилиндра равна произведению длины образующей на периметр (т. е. длину окружности) основания.

Задача 1. Отрезок, соединяющий диаметрально противоположные точки А и В верхнего и нижно оснований цилиндра (рис. 384), равен 10 см и наклонен к плоскости основания под углом в 60°. Найти площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение. Проведем через отрезок Л Всечение плоскостью, перпендикулярной к основанию цилиндра. Из треугольника имеем

откуда находим для боковой поверхности цилиндра

Задача 2. Треугольник ABC, вершины А и В которого суть концы диаметра нижнего основания цилиндра, а вершина С-конец перпендикулярного к нему диаметра верхнего основания, равносторонний со стороной а,

Найти площади боковой и полной поверхностей цилиндра. Решение. Радиус основания цилиндра равен Высота треугольника ABC (рис. 385) равна а образующая цилиндра вычисляется как

Отсюда боковая поверхность цилиндра получается равной

а полная поверхность (равная сумме площади боковой поверхности и площади двух оснований цилиндра) равна

Упражнения

1. Диагонали боковых граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под углами, соответственно равными . Найти угол наклона к той же плоскости диагонали параллелепипеда.

2. В прямом параллелепипеде острый угол основания равен а, а одна из сторон основания равна а. Сечение, проведенное через эту сторону и противоположное ребро верхнего основания, имеет площадь Q, и плоскость его наклонена к плоскости основания под углом . Найти объем и полную поверхность параллелепипеда.

3. Основанием наклонной треугольной призмы служит равнобедренный прямоугольный треугольник, а проекция одного из боковых ребер на плоскость основания совпадает с медианой m одного из катетов треугольника. Найти угол наклона боковых ребер к плоскости основания, если объем призмы равен V.

4. В правильной шестиугольной призме через сторону основания проведены два сечения: 1) содержащее противоположную сторону верхнего основания, 2) содержащее центр верхнего основания. При какой высоте призмы угол между плоскостями сечений имеет наибольшую величину и чему он равен в этом случае?

Цилиндр представляет собой геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и цилиндрической поверхностью. В статье поговорим о том, как найти площадь цилиндра и, применив формулу, решим для примера несколько задач.

У цилиндра есть три поверхности: вершина, основание, и боковая поверхность.

Вершина и основание цилиндра являются окружностями, их легко определить.

Известно, что площадь окружности равна πr 2 . Поэтому, формула площади двух окружностей (вершины и основания цилиндра) будет иметь вид πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Третья, боковая поверхность цилиндра, является изогнутой стенкой цилиндра. Для того чтобы лучше представить эту поверхность попробуем преобразовать её, чтобы получить узнаваемую форму. Представьте себе, что цилиндр, это обычная консервная банка, у которой нет верхней крышки и дна. Сделаем вертикальный надрез на боковой стенке от вершины до основания банки (Шаг 1 на рисунке) и попробуем максимально раскрыть (выпрямить) полученную фигуру (Шаг 2).

После полного раскрытия полученной банки мы увидим уже знакомую фигуру (Шаг 3), это прямоугольник. Площадь прямоугольника вычислить легко. Но перед этим вернемся на мгновение к первоначальному цилиндру. Вершина исходного цилиндра является окружностью, а мы знаем, что длина окружности вычисляется по формуле: L = 2πr. На рисунке она отмечена красным цветом.

Когда боковая стенка цилиндра полностью раскрыта, мы видим, что длина окружности становится длиной полученного прямоугольника. Сторонами этого прямоугольника будут длина окружности(L = 2πr) и высота цилиндра(h). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон – S = длина х ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результате мы получили формулу для расчета площади боковой поверхности цилиндра.

Формула площади боковой поверхности цилиндра
S бок. = 2πrh

Площадь полной поверхности цилиндра

Наконец, если мы сложим площадь всех трёх поверхностей, мы получим формулу площади полной поверхности цилиндра. Площади поверхности цилиндра равна площадь вершины цилиндра + площадь основания цилиндра + площадь боковой поверхности цилиндра или S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Иногда это выражение записывается идентичной формулой 2πr (r + h).

Формула площади полной поверхности цилиндра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радиус цилиндра, h – высота цилиндра

Примеры расчета площади поверхности цилиндра

Для понимания приведенных формул попробуем посчитать площадь поверхности цилиндра на примерах.

1. Радиус ос­но­ва­ния цилиндра равен 2, высота равна 3. Определите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности рассчитывается по формуле: S бок. = 2πrh

S бок. = 2 * 3,14 * 2 * 3

S бок. = 6,28 * 6

S бок. = 37,68

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 37,68.

2. Как найти площадь поверхности цилиндра, если высота равна 4, а радиус 6?

Площадь полной поверхности рассчитывается по формуле: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

S = 226,08 + 150,72

Площадь поверхности цилиндра равна 376,8.

Цилиндр – это фигура, состоящая из цилиндрической поверхности и двух окружностей, расположенных параллельно. Расчет площади цилиндра – это задача геометрического раздела математики, которая решается достаточно просто. Существует несколько методов ее решения, которые в результате всегда сводятся к одной формуле.

Как найти площадь цилиндра – правила вычисления

• Чтобы узнать площадь цилиндра, необходимо две площади основания сложить с площадью боковой поверхности: S= Sбок.+ 2Sосн. В более развернутом варианте данная формула выглядит так: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Площадь боковой поверхности данного геометрического тела можно высчитать, если известны его высота и радиус окружности, лежащей в основании. В данном случае можно выразить радиус из длины окружности, если она дана. Высота может быть найдена, если в условии задано значение образующей. В этом случае образующая будет равна высоте. Формула боковой поверхности данного тела выглядит так: S= 2 π rh.
• Площадь основания считается по формуле нахождения площади круга: S osn= π r 2 . В некоторых задачах может не даваться радиус, но задаваться длина окружности. С данной формулы радиус выражается достаточно легко. С=2π r, r= С/2π. Нужно также помнить о том, что радиус – это половина диаметра.
• При выполнении всех этих расчетов число π обычно не переводится в 3,14159… Его нужно просто дописывать рядом с числовым значением, которое было получено в результате проведения вычислений.
• Далее необходимо лишь умножить найденную площадь основания на 2 и прибавить к полученному числу вычисленную площадь боковой поверхности фигуры.
• Если в задаче указывается, что в цилиндре есть осевое сечение и это – прямоугольник, то решение будет немного другим. В таком случае ширина прямоугольника будет являться диаметром окружности, лежащей в основании тела. Длина фигуры будет равна образующей или высоте цилиндра. Необходимо высчитать нужные значения и подставить в уже известную формулу. В данном случае ширину прямоугольника нужно разделить на два, чтобы найти площадь основания. Для нахождения боковой поверхности длина умножается на два радиуса и на число π.
• Можно высчитать площадь данного геометрического тела через его объем. Для этого нужно из формулы V=π r 2 h вывести недостающую величину.
• В вычислении площади цилиндра нет ничего сложного. Нужно только знать формулы и уметь выводить из них величины, необходимые для проведения расчетов.